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分析中的若干问题剖析/南昌航空大学学术文库 版权信息
- ISBN：9787030725264
- 条形码：9787030725264 ; 978-7-03-072526-4
- 装帧：一般胶版纸
- 册数：暂无
- 重量：暂无
- 所属分类：>
分析中的若干问题剖析/南昌航空大学学术文库 内容简介
本书主要是对数学分析和数值分析中的若干问题与方法进行探究和剖析，是作者近年来在该方面研究工作的积累和总结。其主要内容包括：一种生成迭代数列的新方法、含中介值微分等式证明题的构造新策略、数值微分公式的对偶校正公式、几个典型数列极限问题的推广、不定积分的解法探究、关于几个定积分问题的探究与拓展、几类积分不等式的构造问题探究、有关和式问题的探究、高阶常系数线性微分方程的逆特征算子分解法、二阶变系数线性微分方程的解法探究等。 本书可作为数值分析和数学分析提高的参考书，供本科高年级学生、理工类各专业研究生、大学数学教师及数学工作者参考。
分析中的若干问题剖析/南昌航空大学学术文库 目录
目录
前言
第1章 一种生成迭代数列的新方法 1
1.1 问题的提出 1
1.2 收敛于的迭代数列{un}的构造 1
1.3 收敛于的迭代数列{un}的构造 15
1.4 问题的拓展 30
1.5 小结 37
第2章 含中介值微分等式证明题的构造新策略 38
2.1 引言 38
2.2 几个主要结论 38
2.3 两种构造含中介值微分等式证明题的新策略 54
2.3.1 **种构造策略 54
2.3.2 第二种构造策略 55
2.4 应用实例 55
2.4.1 **种构造策略的应用 55
2.4.2 第二种构造策略的应用 64
2.5 一类微分不等式的*优估计 74
2.6 小结 76
第3章 数值微分公式的对偶校正公式 77
3.1 引言 77
3.2 数值微分公式的对偶校正公式 77
3.2.1 对偶公式及对偶校正公式的概念 77
3.2.2 对偶校正公式的生成步骤 78
3.3 几个数值微分公式的对偶校正公式生成 78
3.3.1 对偶校正公式的生成实例I 78
3.3.2 对偶校正公式的生成实例II 84
3.3.3 对偶校正公式的生成实例III 87
3.4 二元函数数值微分公式的对偶校正公式 88
3.4.1 二元函数数值微分公式的几个概念 88
3.4.2 二元函数数值微分公式的对偶校正公式的生成 90
3.5 小结 91
第4章 几个典型数列极限问题的推广 93
4.1 几个引理 93
4.2 数列极限I及其推广 93
4.3 数列极限II及其推广 96
4.4 数列极限III及其推广 100
4.5 引理4.2的逆命题及其推广 106
4.6 应用实例 111
4.7 小结 114
第5章 不定积分的解法探究 115
5.1 待定系数法的基本原理 115
5.2 代数法的基本原理 117
5.3 应用实例 119
5.4 小结 131
第6章 关于几个定积分问题的探究与拓展 132
6.1 关于定积分与函数零点问题的探究 132
6.1.1 预备知识 133
6.1.2 关于定积分与函数零点的几个主要结论 133
6.2 关于一道定积分等式证明题的探究和拓展 135
6.2.1 一道定积分典型问题及其证明 136
6.2.2 问题的提出及探究 136
6.2.3 新题的编制 137
6.2.4 典型问题的另一证明及其探究 139
6.3 关于一道定积分不等式证明题的拓展 140
6.3.1 问题的提出 140
6.3.2 问题的解答 141
6.3.3 新题的编制 144
6.4 小结 145
第7章 几类积分不等式的构造问题探究 146
7.1 定积分的不等式构造问题 146
7.2 定积分的不等式构造问题 157
7.3 定积分的不等式构造问题 163
7.4 定积分与的不等式构造问题 171
7.4.1 定积分与的不等式构造 171
7.4.2 定积分与的不等式构造 177
7.4.3 定积分与的不等式构造 180
7.4.4 定积分与的不等式构造 182
7.5 定积分与的不等式构造问题 185
7.6 二重积分不等式的构造问题 188
7.7 小结 196
第8章 有关和式问题的探究 197
8.1 有关和式的几个主要结论 197
8.2 有关和式极限与不等式新题的编制 200
8.3 有关和式界的估计 207
8.4 和式命题的其他应用 209
8.5 小结 214
第9章 高阶常系数线性微分方程的逆特征算子分解法 215
9.1 问题的提出 215
9.2 二阶常系数线性微分方程的逆特征算子分解法 215
9.3 三阶及n阶常系数线性微分方程的逆特征算子分解法 219
9.4 应用实例 227
9.5 小结 234
第10章 二阶变系数线性微分方程的解法探究 236
10.1 引言 236
10.2 二阶变系数齐次线性微分方程的特解形式 236
10.3 二阶变系数线性微分方程的解法归类 239
10.4 应用举例 240
10.5 小结 256
参考文献 258
前言
第1章 一种生成迭代数列的新方法 1
1.1 问题的提出 1
1.2 收敛于的迭代数列{un}的构造 1
1.3 收敛于的迭代数列{un}的构造 15
1.4 问题的拓展 30
1.5 小结 37
第2章 含中介值微分等式证明题的构造新策略 38
2.1 引言 38
2.2 几个主要结论 38
2.3 两种构造含中介值微分等式证明题的新策略 54
2.3.1 **种构造策略 54
2.3.2 第二种构造策略 55
2.4 应用实例 55
2.4.1 **种构造策略的应用 55
2.4.2 第二种构造策略的应用 64
2.5 一类微分不等式的*优估计 74
2.6 小结 76
第3章 数值微分公式的对偶校正公式 77
3.1 引言 77
3.2 数值微分公式的对偶校正公式 77
3.2.1 对偶公式及对偶校正公式的概念 77
3.2.2 对偶校正公式的生成步骤 78
3.3 几个数值微分公式的对偶校正公式生成 78
3.3.1 对偶校正公式的生成实例I 78
3.3.2 对偶校正公式的生成实例II 84
3.3.3 对偶校正公式的生成实例III 87
3.4 二元函数数值微分公式的对偶校正公式 88
3.4.1 二元函数数值微分公式的几个概念 88
3.4.2 二元函数数值微分公式的对偶校正公式的生成 90
3.5 小结 91
第4章 几个典型数列极限问题的推广 93
4.1 几个引理 93
4.2 数列极限I及其推广 93
4.3 数列极限II及其推广 96
4.4 数列极限III及其推广 100
4.5 引理4.2的逆命题及其推广 106
4.6 应用实例 111
4.7 小结 114
第5章 不定积分的解法探究 115
5.1 待定系数法的基本原理 115
5.2 代数法的基本原理 117
5.3 应用实例 119
5.4 小结 131
第6章 关于几个定积分问题的探究与拓展 132
6.1 关于定积分与函数零点问题的探究 132
6.1.1 预备知识 133
6.1.2 关于定积分与函数零点的几个主要结论 133
6.2 关于一道定积分等式证明题的探究和拓展 135
6.2.1 一道定积分典型问题及其证明 136
6.2.2 问题的提出及探究 136
6.2.3 新题的编制 137
6.2.4 典型问题的另一证明及其探究 139
6.3 关于一道定积分不等式证明题的拓展 140
6.3.1 问题的提出 140
6.3.2 问题的解答 141
6.3.3 新题的编制 144
6.4 小结 145
第7章 几类积分不等式的构造问题探究 146
7.1 定积分的不等式构造问题 146
7.2 定积分的不等式构造问题 157
7.3 定积分的不等式构造问题 163
7.4 定积分与的不等式构造问题 171
7.4.1 定积分与的不等式构造 171
7.4.2 定积分与的不等式构造 177
7.4.3 定积分与的不等式构造 180
7.4.4 定积分与的不等式构造 182
7.5 定积分与的不等式构造问题 185
7.6 二重积分不等式的构造问题 188
7.7 小结 196
第8章 有关和式问题的探究 197
8.1 有关和式的几个主要结论 197
8.2 有关和式极限与不等式新题的编制 200
8.3 有关和式界的估计 207
8.4 和式命题的其他应用 209
8.5 小结 214
第9章 高阶常系数线性微分方程的逆特征算子分解法 215
9.1 问题的提出 215
9.2 二阶常系数线性微分方程的逆特征算子分解法 215
9.3 三阶及n阶常系数线性微分方程的逆特征算子分解法 219
9.4 应用实例 227
9.5 小结 234
第10章 二阶变系数线性微分方程的解法探究 236
10.1 引言 236
10.2 二阶变系数齐次线性微分方程的特解形式 236
10.3 二阶变系数线性微分方程的解法归类 239
10.4 应用举例 240
10.5 小结 256
参考文献 258
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分析中的若干问题剖析/南昌航空大学学术文库 节选
第1章 一种生成迭代数列的新方法 1.1 问题的提出 迭代数列是一类重要的数列，也可以看成一类差分方程，在非线性方程的数值计算中具有广泛的应用.目前，一些有关数值分析和数学分析的书籍和论文文献[1-4]中，分别给出了收敛于和的两个典型迭代数列{un}，即 (1)对任意; (2)对任意. 显然，它们是基于牛顿迭代法而构造得到的.那么是否存在其他收敛于和的迭代数列{un}？如果存在的话，又应该如何构造？ 本章主要是探究分别收敛于和的迭代数列{un}的一般性构造方法，提出一种构造一类迭代数列的新方法. 为此，提出以下两个主要问题： 问题1 如何构造收敛于和的一类新的迭代数列？ 问题2 构造思想是否可以推广用于构造收敛于 m(m >3)的迭代数列？为了回答上述两个问题，我们作如下探讨. 1.2 收敛于的迭代数列{un}的构造 下面，首先给出迭代数列{un}收敛阶的定义，然后再分别给出收敛于的迭代数列{un}的构造方法. 定义1.1 [1]设数列{un}收敛于 A，若存在常数，使，则称数列{un}的收敛阶为 p，也称数列{un}为 p 阶收敛于 A. 显然， p 越大，数列{un}收敛于 A 的速度便越快. 令，则对于非线性方程，由牛顿迭代法可构造得到收敛于的迭代数列，其中. 下面，我们给出收敛于的一类迭代数列的一种新的构造方法. 设 a >0， u1>0，{un}收敛于，相对误差，为了构造{un}，可令， 其中 k 为实常数，且.化简整理得， 从而得，于是令，即得计算的迭代数列{un}.为了使迭代数列{un}收敛于，须使 un >0，而这只需使. 又，故取即可. 特别地，取 k =0，即得，此即为文献[1]-[4]中收敛于的典型迭代数列. 下面主要探讨所构造迭代数列{un}：的收敛性问题，即当 k 取何值时数列{un}收敛于若收敛，何时达到二阶收敛于？ 注意到且故当且仅当，即 k =0时，有，此时才可能达到二阶收敛. 事实上，利用柯西(Cauchy)收敛准则，我们可以证明得到数列{un}收敛的一般性结论. 定理1.1 设数列{un}满足 u1>0，且，其中 a >0， k 为实常数，则当时，数列{un}收敛，且. 特别地，有 当 k =0时，数列{un}二阶收敛于，此时; 当时，数列{un}一阶收敛于. 证明 由题设，当时，易知，且有. 于是，当时，有，从而有.下面分三种情况考虑. (1)当且时，解得，于是有，此时取; (2)当且时，解得，于是有，此时取; (3)当且时，解得，于是有，此时取. 由上知，当时，有. 又由迭代关系式得， 于是对任意 p ∈ N，有. 故由数列极限的柯西收敛准则得{un}收敛.不妨设，则由递推关系式两边取极限，得. 解得，即得. 又由递推关系式，有， 故 (1)当且仅当 k =0时，有， 从而，此时数列二阶收敛于. (2)当时，有，此时数列{un}一阶收敛于. [注记1]由定理1.1的证明可知，当时，定理1.1的结论仍然成立. 类似地，为了构造得到更高阶收敛于的其他迭代数列{un}，可令， 其中 k， k1， k2为实常数.化简整理得，从而得.于是令，即得 的另一类新的迭代数列{un}. 为了使迭代数列{un}收敛于，须使 un >0，而这只需使.特别地，取 k =1且，即得， 再记上式中的 k1=1+ k，即得， 此即为定理1.1中收敛于的迭代数列{un}. 类似于定理1.1的讨论，对于迭代数列，有 故 (i)当且仅当，即 k1=1时，有，二阶收敛于. (ii)当时，有;，此时数列{un}一阶收敛于.
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